Tema 7: Teoría de la probabilidad

Probabilidad

• Es muy frecuente para comunicarnos y entendernos.
• Se da a medida de ocurrencia de un evento que es incierto: sobrevivir a laoperación, tener una infección hospitalaria o la ocurrencia de enfermedades respiratorias.
• Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes)
• Si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una esperanza dimensionada y razonable, de que el hecho anunciado se vea confirmado.
• Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones. Por ejemplo: si veo que hay un 15% de padecer infecciones hospitalarias, decido ir o no ir al hospital.
• Cuanto más probable es que ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o a 100%, y cuanto menos probable, más se aproxima al cero.
• Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición es complicada y tiene tres vertientes:

Probabilidad objetiva

Probabilidad clásica o "a priori"

Data del siglo XVII (Laplace, Pascal, Fermat), desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas...).

Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto.

Definición: Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N

Probabilidad relativa o "a posteriori"

La probabilidad a priori de que salga un número en un dado es P(A)= 1/6 = 0,166 =16,6%

Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”

Definición: si un suceso es repetido un gran número de veces, y si algún evento resultante, con la

característica E ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.

Probabilidad subjetiva o personalística

La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada.

Por ejemplo: los epidemiólogos se basan en la experiencia para afirmar que el próximo invierno, la epidemia de gripe tendrá una probabilidad del 0,0018 (180 casos por cada 100.000 habitantes).

Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado

“Estadística Bayesiana”.

Eventos o sucesos

Propiedades de las probabilidades

• Cuando dos sucesos se excluyen mutuamente, es decir, por ejemplo, sacar cara o sacar cruz, la probabilidad de que se produzca cara o cruz seria la probabilidad de AUB. En ese caso simplemente hay que calcular la suma de los dos conjuntos.
• Cuando los dos sucesos no son mutuamente excluyentes, caso de ser mujer y ser rubio, por ejemplo, la probabilidad de que se produzca A o B seria la suma de A + la suma de B, pero tengo que descontar las mujeres que poseen las dos características.
• Cuando A y B son eventos independientes, es decir, la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia de otro, es el producto de los dos subconjuntos.

Reglas básicas: teoría de la probabilidad

• Las probabilidades oscilan entre 0 y 1.
• La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso. Por ejemplo: la probabilidad de ser mujer, si hay 8 personas, la probabilidad de ser hombre sería 8-4=4.
• La probabilidad de un suceso imposible es 0.
• La unión de A y B es: si los eventos son compatibles, que en la mayoría lo son, calculamos la probabilidad de A+ probabilidad de B- intersección entre dos conjuntos.
• Cuando es una pregunta condicionada, siempre es a priori.

Teorema de bases

• Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B (probabilidad condicionada) en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
• En términos más generales, el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.
• Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.

Distribución de probabilidad en variables discretas: binominal y de Poisson.

Distribución binominal

• La distribución binomial es un modelo matemático de  distribución teórica de (la normal es con variablescontinuas)  variablesdiscretas
• Cuando se producen situaciones en las que sólo existendos  posibilidades (cara/cruz;sano/enfermo…) 
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente delos  resultados obtenidosanteriormente.
• La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y es 1-p  no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A  representamos por q.
• El experimento consta deun número n depruebas.

Mediante esta distribución se resuelven los problemasque plantean:

• Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces?
• P: probabilidad de ocurrencia; q de noocurrencia
• X: numero sucesosfavorables
• N: numero total deensayos
• Y recordar que por definición el factorial de un número 0 es igual a 1.

Distribución de Poisson

Poisson: médico miliar francés que estudia en el siglo XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo. Para variables discretas.

También se le llama la distribución de probabilidad de casos raros.

Distribuciones normales

Gauss descubrió en su teorema varias peculiaridades en relación a estas distribuciones. Comprobó que la media coincide con la moda que es el punto más alto y con la mediana. En todas las distribuciones si yo le sumo y le resto el valor de una desviación típica a la media de cualquier serie estadística que sigue una distribución normal, el valor de esa serie se va a encontrar en el 68,26%.

Tengo una media de una clase que es 25 años y la desviación típica es de 2 años, yo puedo decir que entre 23 y 27 años se encuentra el 68,26%.

Comprobó lo que pasaba si sumaba y restaba dos desviaciones típicas.

Con el ejemplo de antes, si la desviación típica es 2 años, tengo 21-29 años y puedo decir que entre 21-29 se encuentra el 95,45%.

Si le sumo y le resto tres desviaciones típicas: entre 19-31 se encuentra el 99,73%.

Si observo que una sigue una distribución normal se podría tipificar los valores de una normal.

Tipificación de valores en una normal

La tipificación de valores se puede realizar si...

• Trabajamos con variables continuas que sigue una distribución normal y tiene más de 100 unidades (Ley de los Grandes Números)
• La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia

Sabemos por la forma de la curva que:

• La media coincide con lo más alto de la campana: 8
• La desviación típica es de 2 puntos
• 50% tiene puntuaciones >8 porque la media coincide con la mediana y deja un 50 por arriba y otro por abajo.
• 50% tiene puntuaciones <8
• Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10.
• Media +/- 1 desviación típica: 68,26%
• Media +/-2 desviación típica: 95%
• Media +/-3 desviación típica: 99%